Teori Bilangan Bagian I

Bilangan Bulat

Sifat Dasar

Pada bagian ini kita akan menjelaskan sebuah sifat fundamental dari himpunan bilangan bulat {......,-2,-1,0,1,2,......} yang akan kita anggap sebagai aksioma. Sifat tersebut melengkapi dasar untuk membuktikan hasil akhir dalam teori bilangan. Kita mulai dengan sifat yang berhubungan dengan penjumlahan dan perkalian. Seperti biasanya, kita notasikan jumlah dan perkalian a dan b secara berurutan dengan a + b dan a.b. Sesuai kebiasaan, kita akan tulis ab untuk a.b.

• Sifat tertutup: Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka  a + b dan a.b adalah bilangan bulat.
• Sifat komutatif: a + b = b + a dan a.b = b.a untuk semua bilangan bulat a dan b.
• Sifat assosiatif: (a + b) + c = a + (b + c) dan (a.b).c = a.(b.c) untuk semua bilangan bulat a, b, dan c.
• Sifat distributif: (a + b).c = a.c + b.c untuk semua bilangan bulat a, b, dan c.
• Elemen identitas: a + 0 = a dan a.1 = a untuk semua bilangan bulat a.
• Invers penambahan: untuk semua bilangan bulat a terdapat sebuah bilangan bulat x sedemikian sehingga a + x = 0; bilangan bulat x dinamakan dengan invers penambahan pada a dan dinotasikan dengan by-a. b – a juga dapat diartikan a + (-b).
• Sifat penghapusan (Cancellation law): Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a.c = b.c, c≠0, maka a = b.

Kita dapat menggunakan aksioma – aksioma dan sifat biasa pada persamaan untuk menetapkan sifat penjumlahan bilangan bulat. Sebuah contoh menggambarkan bagaimana hal ini dilakukan. Pada bagian – bagian selanjutnya dari buku ini adalah mudah jika aksioma – aksioma tersebut digunakan tanpa komentar.

Contoh 1.1. Untuk memperlihatkan bahwa 0.a = 0 dimulai dengan persamaan 0 + 0 = 0; karena 0 adalah sebuah elemen identitas pada penjumalan. Selanjutnya kalikan kedua ruas dengan a untuk memperoleh (0 + 0).a = 0.a. Dengan menggunakan sifat distribusi ruas kiri dari persamaan sama dengan (0 + 0).a = 0.a + 0.a. Selanjutnya kurangi 0.a pada kedua ruas (hal ini sama dengan invers penambahan dari 0.a). Menggunakan sifat assosiatif pada penjumalan dan kenyataan bahwa 0 adalah sebuah elemen identitas penjumlahan, ruas kiri menjadi 0.a + (0.a – 0.a) = 0.a + 0 = 0.a. Ruas kanan menjadi 0.a – 0.a = 0. Kita simpulkan bahwa 0.a = 0.

Prinsip dari bilangan bulat adalah menjelaskan kegunaan himpunan dari bilangan bulat positif {1, 2, 3, ...}. Kita memiliki definisi sebelumnya.

Definition. If a dan b bilangan bulat, maka a < b jika b – a adalah bilangan bulat positif. Jika a < b, dapat juga ditulis b > a.

Catatan bahwa a adalah bilangan bulat positif jika dan hanya jika a > 0.

Sifat fundamental dari prinsip pada bilangan bulat sebelumnya.

Sifat tertutup pada Bilangan Bulat Positif: untuk semua bilangan bulat positif a dan b, a + b dan a.b adalah bilangan bulat positif

Trichotomy law: Untuk setiap bilangan bulat a, salah satu dari berikut ini berlaku a > 0, a = 0, a < 0.

      Himpunan bilangan bulat juga merupakan sebuah himpunan teratur karena memiliki subset yang tertutup di bawah penjumlahan dan perkalian dan sifat trychotomy berlaku untuk setiap bilangan bulat.

      Sifat dasar dari prinsip bilangan bulat sekarang dapat dibuktikan menggunakan aksioma – aksioma kita, seperti contoh yang diberikan sebelumnya. Kita akan menggunakan tanpa properti bukti dari prinsip bahwa mudah menurut dari aksioma – aksioma kita.

Contoh 1.2. Andaikan ada bilangan bulat a, b, dan c sedemikian sehingga a < b dan c > 0. Kita akan tunjukkan bahwa ac < bc. Pertama, sesuai definisi pada a < b kita memiliki b – a > 0. Karena himpunan bilangan bulat positif tertutup terhadap perkalian, c (b – a) > 0. Karena c (b – a) = cb – ca, maka ca < cb.

Kita membututhkan satu lagi sifat untuk melengkapi himpunan dari aksioma kita.

• Sifat Keteraturan. Setiap himpunan tak kosong dari bilangan bulat positif memiliki elemen terkecil.

Kita katakan bahwa himpunan dari bilangan bulat positif adalah teratur. Di sisi lain, himpunan dari semua bilangan bulat tidak teratur karena terdapat himpunan – himpunan bilangan bulat yang tidak memiliki elemen terkecil (pembaca dapat membuktikan).

Himpunan bilangan bulat kurang dari atau sama dengan bilangan bulat yang memiliki elemen terbesar (pembaca dapat memberikan perincian pada pembuktian dari pernyataan ini, menggunakan sifat keteraturan). Ketetapan ini untuk menyertai definisi.

Definisi. Bilangan bulat terbesar dalam bilangan real x, dinotasikan dengan [x], merupakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Maka, bilangan bulat [x] memenuhi.

[x] ≤ x < [x] + 1.

Contoh 1.3. Kita memiliki [5/2] = 2, [-5/2] = -3, [π] = 3, [-2] = -2 dan [0] = 0.

Petunjuk: fungsi bilangan bulat terbesar juga diketahui sebagai fungsi dasar. Dari pada menggunakan notasi [x] untuk fungsi ini, ilmu komputer biasanya menggunakan notasi. Fungsi batas adalah fungsi relasi yang sering kali digunakan dalam ilmu komputer. Fungsi batas dari bilangan real x, yang dinotasikan dengan, merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x. Contohnya. dan .

Kita juga akan menguraikan himpunan dari bilangan rasional dalam buku ini. Disebutkan bahwa bilangan real x adalah rasional jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat a dan b, b ≠ 0, dengan x = a/b. Suatu bilangan yang tidak rasional disebut irrasional. Contoh dari bilangan irrasional adalah π, √2, dan e. Sekarang kita akan gunakan sifat keteraturan untuk menunjukkan bahwa √2 adalah bilangan irrasional; kita akan membuktikan hasil ini dalam cara yang berbeda dengan bab 3. (kita mengarahkan pembaca secara perlahan [21] untuk membuktikan bahwa π dan e irrasional).

Teorema 1.1. √2 adalah irrasional

Bukti. Misalkan √2 rasional. Maka terdapat bilangan bulat positif a dan b sehingga √2 = a/b. Akibatnya ada S = {k√2 | k dan k√2 adalah bilangan bulat positif} adalah himpunan bilangan bulat positif yang tidak kosong(himpunan S tidak kosong karena a = b√2 adalah anggota dari S). Perhatikan bahwa sifat keteraturan S memiliki elemen terkecil yaitu s = t√2. Kita memiliki s√2 – s = s√2 – t√2 = (s – t)√2. Karena s√2 = 2t dan s keduanya adalah bilangan bulat, s√2 – s = (s – t)√2 pasti juga merupakan bilangan bulat. Selanjutnya, s√2 – s adalah bilangan bulat positif karena s√2 – s = s (√2 – 1) dan √2 > 1. Sehingga s√2 – s lebih kecil dari s karena s = t√2, s√2 = 2t, dan √2 < 2. Hal ini bertentangan dengan pernyataan bahwa s adalah bilangan bulat positif terkecil di S. Sehingga √2 adalah bilangan irrasional.

Himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan bulat positif, himpunan bilangan rasional, dan himpunan bilangan real, secara berurutan umumnya dinotasikan dengan Z, Z⁺, Q, dan R. Selain itu, kita tuliskan x  S untuk menyatakan bahwa x termasuk pada himpunan S. Notasi demikian adakalanya akan digunakan dalam buku ini.